5.3
Ekstrim Relatif, Uji Turunan Pertama dan Kedua

Definisi 5.3.1.
  1. Suatu fungsi $f$ dikatakan mempunyai maksimum relatif di $x_0$, jika $f(x_0)\geq f(x)$ untuk semua $x$ dalam interval terbuka yang memuat $x_0$.
  2. Suatu fungsi $f$ dikatakan mempunyai minimum relatif di $x_0$, jika $f(x_0)\leq f(x)$ untuk semua $x$ dalam interval terbuka yang memuat $x_0$.
  3. Suatu fungsi $f$ dikatakan mempunyai ekstrim relatif di $x_0$, jika fungsi tersebut mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif.
Teorema 5.3.1.
Jika $f$ mempunyai sebuah ekstrim relatif di $x_0$, maka $f'(x)=0$ atau $f$ tidak dapat diturunkan di $x_0$.
Ekstrim relatif dari suatu fungsi terjadi di titik kritisnya.
Definisi 5.3.2.
Titik kritis untuk fungsi $f$ adalah nilai $x$ dalam domain $f$ dimana $f'(x)=0$ atau dimana $f$ tidak dapat diturunkan. Titik kritis dimana $f'(x)=0$ disebut titik stasioner $f$.
Teorema 5.3.2.(Uji Turunan Pertama)
Misalkan $f$ kontinu di titik kritis $x_0$
  • Jika $f'(x)>0$ pada interval terbuka di sebelah kiri dari $x_0$ dan $f'(x)<0$ pada interval terbuka di sebelah kanan dari $x_0$ maka $f$ mempunyai sebuah maksimum relatif di $x_0$.
  • Jika $f'(x)<0$ pada interval terbuka di sebelah kiri dari $x_0$ dan $f'(x)>0$ pada interval terbuka di sebelah kanan dari $x_0$ maka $f$ mempunyai sebuah minimum relatif di $x_0$.
  • Jika $f$ mempunyai tanda sama [$f'(x)>0$ maupun $f'(x)<0$] baik pada interval terbuka di sebelah kiri dari $x_0$ dan pada interval terbuka di sebelah kanan dari $x_0$ maka $f$ tidak mempunyai maksimum relatif di $x_0$.
Catatan: Jika pada interval terbuka terdapat ekstrim relatif, maka ekstrim relatif terjadi pada titik-titik kritisnya yang di kanan dan kiri titik ekstrim $f'$ berubah tanda dengan syarat $f$ kontinu dan tidak konstan.
Teorema 5.3.3.(Uji Turunan Kedua)
Misalkan $f$ dapat diturunkan dua kali di titik stasioner $x_0$.
  • Jika $f''(x_0)>0$ maka $f$ mempunyai minimum relatif di $x_0$.
  • Jika $f''(x_0)<0$ maka $f$ mempunyai maksimum relatif di $x_0$.
Contoh 1 (EAS 2023/2024)
Diberikan fungsi $f(x)=-3x^5+5x^3$. Tentukan titik ekstrim relatif fungsi tersebut.
Pembahasan
Ekstrim relatif suatu fungsi terjadi pada titik kritisnya, yaitu titik di mana $f'(x)=0$ atau $f$ tidak dapat diturunkan. \begin{align*} f'(x)&=0\\ -15x^4+15x^2&=0\\ -15x^2(x^2-1)&=0\\ -15x^2(x+1)(x-1)&=0 \end{align*} Diperoleh $3$ titik di mana $f'(x)=0$, yaitu $x=-1$, $x=1$, dan $x=0$. Dengan uji titik menggunakan garis bilangan, diperoleh interval yang menyebabkan nilai $f'(x)<0$ adalah $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ dan interval yang menyebabkan nilai $f'(x)>0$ adalah $(-1,1)\backslash \{0\}$. Perhatikan bahwa $f'(x)<0$ pada interval $(-\infty,-1)$ dan $f'(x)>0$ pada interval $(-1,0)$ sehingga $f$ mempunyai minimum relatif pada $x=-1$. Adapun $f'(x)>0$ pada interval $(0,1)$ dan $f'(x)<0$ pada interval $(1,+\infty)$ sehingga $f$ mempunyai maksimum relatif pada $x=1$.\\ Ekstrim relatif dari $f$ juga dapat dicari dengan uji turunan kedua. Diketahui titik kritis $f$ terjadi pada titik-titik dimana $f'(x)=0$, yaitu $x=-1$, $x=1$, dan $x=0$. Titik-titik tersebut disebut juga titik stasioner. $$f'(x)=-15x^4+15x^2\implies f''(x)=-60x^3+30x$$ Turunan kedua $f$, $f''(x)$, terdefinisi untuk semua $x$ bilangan real, termasuk di titik-titik stasionernya. $$f''(-1)=-60(-1)^3+30(-1)=-60(-1)-30=60-30=30$$ $$f''(0)=-60(0)^3+30(0)=0$$ $$f''(1)=-60(1)^3+30(1)=-60+30=-30$$ Perhatikan bahwa $f''(-1)>0$ sehingga $x=-1$ merupakan minimum relatif dari $f$. Adapun $f''(1)<0$ sehingga $x=1$ merupakan maksimum relatif dari $f$.
Latihan!
EAS 2024/2025
Diberikan fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-2024}$. Tentukan titik ekstrim relatif fungsi tersebut.
Jawab:
EAS 2024/2025
Diberikan fungsi $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+1$. Tentukan titik ekstrim relatif fungsi tersebut.
Jawab: